题目描述
组合数 表示的是从 n 个物品中选出 m 个物品的方案数。举个例子,从 (1,2,3)三个物品中选择两个物品可以有 (1,2),(1,3),(2,3) 这三种选择方法。根据组合数的定义,我们可以给出计算组合数 的一般公式:
其中 ;特别地,定义 0!=1。
小葱想知道如果给定 n,m 和 k,对于所有的 有多少对 (i,j) 满足 。
输入格式
第一行有两个整数 t,k,其中 t 代表该测试点总共有多少组测试数据,k 的意义见问题描述。
接下来 t 行每行两个整数 n,m,其中 n,m 的意义见问题描述。
输出格式
共 t 行,每行一个整数代表所有的 中有多少对 (i,j) 满足 。
输入输出样例
输入 #1
1 2
3 3
输出 #1
1
输入 #2
2 5
4 5
6 7
输出 #2
0
7
说明/提示
【样例1说明】
在所有可能的情况中,只有 一种情况是 2 的倍数。
【子任务】
- 对于全部的测试点,保证 。
题目分析
利用组合的一个性质:
可以预处理 。复杂度
c[0][0]=c[1][0]=c[1][1]=1;
for(int i=2;i<=N-5;i++){
for(int j=0;j<=i;j++){
c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
}
}
但是本题n的范围达到了 。会超出long long
数据范围。并且,每次得到范围n和m之后,需要遍历 统计能整除k的元素个数。重复t次,整体复杂度为 ,会超时。
此时需要解决两个问题:
- 范围过大导致答案错误
- 重复遍历,时间超时
的所有值都是固定的,每次遍历 统计的话,很多都是重复统计了。此时可以利用前缀和提前统计区间内的满足的总和。
再来看数太大的问题,根据组合数的性质: ,且我们只需要统计能否整除k的个数,那么利用同余性质,C[i][j]
中存放 的结果即可。
代码实现
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N=2e3+5;
typedef long long ll;
ll c[N][N];//c[i][j]为C(i,j)%k
ll s[N][N];//s[i][j]为c(i,0)~c(i,j)的能整除k的元素总数
ll num[N];//num[i]为 C(0~i,?) 能整除k的元素总数
int main(){
int t,k;
int n,m;
cin>>t>>k;
//预处理 c[i][j] 为C[i][j]%k
//C(i,j)=C(i-1,j)+C(i-1,j-1)
c[0][0]=c[1][0]=c[1][1]=1%k;
num[0]=!c[0][0];
num[1]=!c[1][0]+!c[1][1];
for(int i=0;i<=N-5;i++){
for(int j=0;j<=i;j++){
c[i][j]=(c[i-1][j]%k+c[i-1][j-1]%k)%k;
num[i]+=(!c[i][j]);//累加C(i,j) 的能整除k的总和
s[i][j]=s[i][j-1]+!c[i][j];//前缀和 计算 s[i][j]
}
num[i]+=num[i-1];//前缀和统计总和
}
while(t--){
cin>>n>>m;
ll cnt=0;//满足条件的总数
if(m>=n) cnt=num[n];//C(0,0)~C(n,m)都要算上,直接累加计算好的总和
else{//m<n
cnt=num[m];// 先累加C(0,0)~C(m,m)的满足条件的总和
for(int i=m+1;i<=n;i++){//遍历C(m+1,?)~C(n,?)
cnt+=(s[i][m]);//累加每层 C(i,0)~C(i,m) 满足条件的元素总数
}
}
cout<<cnt<<endl;
}
return 0;
}