题目描述
人类终于登上了火星的土地并且见到了神秘的火星人。人类和火星人都无法理解对方的语言,但是我们的科学家发明了一种用数字交流的方法。这种交流方法是这样的,首先,火星人把一个非常大的数字告诉人类科学家,科学家破解这个数字的含义后,再把一个很小的数字加到这个大数上面,把结果告诉火星人,作为人类的回答。
火星人用一种非常简单的方式来表示数字――掰手指。火星人只有一只手,但这只手上有成千上万的手指,这些手指排成一列,分别编号为 $1,2,3,\cdots$ 。火星人的任意两根手指都能随意交换位置,他们就是通过这方法计数的。
一个火星人用一个人类的手演示了如何用手指计数。如果把五根手指――拇指、食指、中指、无名指和小指分别编号为 1,2,3,4 和 5,当它们按正常顺序排列时,形成了 5 位数 12345,当你交换无名指和小指的位置时,会形成 5 位数 12354,当你把五个手指的顺序完全颠倒时,会形成 54321,在所有能够形成的 120 个 5 位数中,12345 最小,它表示 1;12354 第二小,它表示 2;54321 最大,它表示 120。下表展示了只有 3 根手指时能够形成的 6 个 3 位数和它们代表的数字:
三进制数 | 代表的数字 |
---|---|
123 | 1 |
132 | 2 |
213 | 3 |
231 | 4 |
312 | 5 |
321 | 6 |
现在你有幸成为了第一个和火星人交流的地球人。一个火星人会让你看他的手指,科学家会告诉你要加上去的很小的数。你的任务是,把火星人用手指表示的数与科学家告诉你的数相加,并根据相加的结果改变火星人手指的排列顺序。输入数据保证这个结果不会超出火星人手指能表示的范围。
输入格式
第一行是火星人的手指数n和科学家的破解参数m,中间一个空格。
第二行是1到n这n个整数的一个排列,用空格隔开,表示火星人手指的排列顺序。
输出格式
n 个整数,表示改变后的火星人手指的排列顺序。每两个相邻的数中间用一个空格分开,不能有多余的空格。
输入输出样例
输入 #1
5
3
1 2 3 4 5
输出 #1
1 2 4 5 3
说明/提示
对于 40% 的数据,$n \le 8$。
对于 70% 的数据,$m \le 100$。
对于 100% 的数据,$n \le 20$; $m<2^{63}$。
题目分析
仔细观察能发现,就是全排列问题。在原序列的基础上求往后全排列的第m个序列内容。
暴力思路就是找出全排列,进行推导,找到往后的第m个序列即可。
介绍一个全排列函数next_permutation
,可以用于求解序列的全排列内容。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,a[25];
long long m;
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
}
while(m--){
next_permutation(a+1,a+n+1);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
cout<<a[i]<<" ";
}
return 0;
}
此时会超时,因为m的范围特别大,光是执行m次,就已经会超时了,此时我们需要另寻出路。
康托展开
康托展开是一个全排列到一个自然数的双射。可以将一个 $1\sim n$ 的序列映射为一个数代表该序列在全排列中的排名。并且该过程可逆,可通过排名数字,推导出该序列的内容。
康托展开
将排名数字展开为序列内容。
$$ X=a_n(n-1)!+a_{n-1}(n-2)!+\cdots +a_1·0! $$
其中,$a_i$ 表示原数的第i
位在当前未出现的元素中排在第几个。位置从右向左,从1到n。
举例说明展开过程:
在 $\{1,2,3,4,5\}$ 5个数的排列组合中,计算 $(3,4,1,5,2)$ 的康托展开值。
第一位为3,在当前未出现的元素$\{1,2,3,4,5\}$中,小于3的数字有两个${1,2}$,所以a[5]=2
。
第二位为4,在当前未出现的元素$\{1,2,4,5\}$中,小于4的数字有两个$1,2$,所以a[4]=2
。
第三位为1,在当前未出现的元素$\{1,2,5\}$中,小于1的数字有0个,所以a[3]=0
。
第四位为5,在当前未出现的元素$\{2,5\}$中,小于5的数字有一个$2,$,所以a[2]=1
。
第五位为2,在当前未出现的元素$\{2\}$中,小于2的数字有0个,所以a[1]=0
。
根据公式:
$$ X=a[5]\times 4! + a[4]\times 3! + a[3]\times 2! + a[2]\times 1! + a[1]\times 0! $$
$$ X=2\times 4! + 2\times 3! + 0\times 2! + 1\times 1! + 0\times 0!=61 $$
所以比$(3,4,1,5,2)$小的组合有61个,它的排名就是62。
康托逆展开
康托展开是一个全排列到一个自然数的双射,因此是可逆的。根据展开过程我们可以逆推回来。
以61进行逆推为例:
推导第一位数,$61\div4!=2\cdots 13$,说明a[5]=2
,在当前未出现的元素中$\{1,2,3,4,5\}$比第一位小的数有两个,所以第一位为3。
推导第二位数,$13\div3!=2\cdots 1$,说明a[4]=2
,在当前未出现的元素中$\{1,2,4,5\}$比第二位小的数有两个,所以第二位为4。
推导第三位数,$1\div2!=0\cdots 1$,说明a[3]=0
,在当前未出现的元素中$\{1,2,5\}$比第三位小的数有零个,所以第三位为1。
推导第四位数,$1\div1!=1\cdots 0$,说明a[2]=1
,在当前未出现的元素中$\{2,5\}$比第四位小的数有一个,所以第四位为5。
推导第五位数,$0\div0!=0\cdots 0$,说明a[1]=0
,在当前未出现的元素中$\{2\}$比第五位小的数有零个,所以第五位为2。
通过以上分析,所求排列组合为$(3,4,1,5,2)$ 。
整体时间复杂度是 $O(n^2)$。
优化思路
根据康托展开,先将初始序列展开求值,求出该序列在$1\sim n$的全排列中的排名,再根据m求出最终答案的排名,之后逆展开,求出该排名的序列内容。
代码实现
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
ull n,m;
int a[25];
ull fac[25]={1};//存放阶乘值fac[x]=x!
int les[25];//les[x]=当前未出现的元素中小于x的个数
vector<int> v;
int main(){
scanf("%llu%llu",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++){//预处理阶乘值
fac[i]=fac[i-1]*i;
}
for(ull i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
v.push_back(i);//v中存放当前未出现的元素1~n
les[i+1]=i;//维护les数组
}
//X=less[n]·(n-1)!+less[n-1]·(n-2)!+... +less[1]·0!
ull sum=0;//存储展开值
for(int i=1,j=n;i<=n;i++,j--){
sum+=les[a[i]]*fac[j-1];//累加当前未出现元素中小于a[i]的个数 与 阶乘的乘积
for(int k=a[i]+1;k<=n;k++){//维护当出现a[i]后,les数组的变化
les[k]--;
}
}
m+=sum;//求出答案序列的排名(排名-1)
//逆展开 求出序列类容
//m / x = k ... r
for(int i=n-1,j=1;i>=0;i--,j++){
ull k=m/fac[i];//求出在当前未出现的元素中,比第j位小的元素个数
m%=fac[i];//更新余数
//求出第j位的元素内容
printf("%d ",v[k]);
v.erase(v.begin()+k);//已经出现就删除掉
}
return 0;
}
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