题目描述

人类终于登上了火星的土地并且见到了神秘的火星人。人类和火星人都无法理解对方的语言,但是我们的科学家发明了一种用数字交流的方法。这种交流方法是这样的,首先,火星人把一个非常大的数字告诉人类科学家,科学家破解这个数字的含义后,再把一个很小的数字加到这个大数上面,把结果告诉火星人,作为人类的回答。

火星人用一种非常简单的方式来表示数字――掰手指。火星人只有一只手,但这只手上有成千上万的手指,这些手指排成一列,分别编号为 1,2,3,1,2,3,\cdots 。火星人的任意两根手指都能随意交换位置,他们就是通过这方法计数的。

一个火星人用一个人类的手演示了如何用手指计数。如果把五根手指――拇指、食指、中指、无名指和小指分别编号为 1,2,3,4 和 5,当它们按正常顺序排列时,形成了 5 位数 12345,当你交换无名指和小指的位置时,会形成 5 位数 12354,当你把五个手指的顺序完全颠倒时,会形成 54321,在所有能够形成的 120 个 5 位数中,12345 最小,它表示 1;12354 第二小,它表示 2;54321 最大,它表示 120。下表展示了只有 3 根手指时能够形成的 6 个 3 位数和它们代表的数字:

三进制数 代表的数字
123 1
132 2
213 3
231 4
312 5
321 6

现在你有幸成为了第一个和火星人交流的地球人。一个火星人会让你看他的手指,科学家会告诉你要加上去的很小的数。你的任务是,把火星人用手指表示的数与科学家告诉你的数相加,并根据相加的结果改变火星人手指的排列顺序。输入数据保证这个结果不会超出火星人手指能表示的范围。

输入格式

第一行是火星人的手指数n和科学家的破解参数m,中间一个空格。

第二行是1到n这n个整数的一个排列,用空格隔开,表示火星人手指的排列顺序。

输出格式

n 个整数,表示改变后的火星人手指的排列顺序。每两个相邻的数中间用一个空格分开,不能有多余的空格。

输入输出样例

输入 #1

5
3
1 2 3 4 5

输出 #1

1 2 4 5 3

说明/提示

对于 40% 的数据,n8n \le 8

对于 70% 的数据,m100m \le 100

对于 100% 的数据,n20n \le 20; m<263m<2^{63}

题目分析

仔细观察能发现,就是全排列问题。在原序列的基础上求往后全排列的第m个序列内容。

暴力思路就是找出全排列,进行推导,找到往后的第m个序列即可。

介绍一个全排列函数next_permutation ,可以用于求解序列的全排列内容。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,a[25];
long long m;
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	while(m--){
		next_permutation(a+1,a+n+1);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cout<<a[i]<<" ";
	}
	return 0;
}

此时会超时,因为m的范围特别大,光是执行m次,就已经会超时了,此时我们需要另寻出路。

康托展开

康托展开是一个全排列到一个自然数的双射。可以将一个 1n1\sim n 的序列映射为一个数代表该序列在全排列中的排名。并且该过程可逆,可通过排名数字,推导出该序列的内容。

康托展开

将排名数字展开为序列内容。

X=an(n1)!+an1(n2)!++a10!X=a_n(n-1)!+a_{n-1}(n-2)!+\cdots +a_1·0!

其中,aia_i 表示原数的第i位在当前未出现的元素中排在第几个。位置从右向左,从1到n。

举例说明展开过程:

{1,2,3,4,5}\{1,2,3,4,5\} 5个数的排列组合中,计算 (3,4,1,5,2)(3,4,1,5,2) 的康托展开值。

第一位为3,在当前未出现的元素{1,2,3,4,5}\{1,2,3,4,5\}中,小于3的数字有两个1,2{1,2},所以a[5]=2

第二位为4,在当前未出现的元素{1,2,4,5}\{1,2,4,5\}中,小于4的数字有两个1,21,2,所以a[4]=2

第三位为1,在当前未出现的元素{1,2,5}\{1,2,5\}中,小于1的数字有0个,所以a[3]=0

第四位为5,在当前未出现的元素{2,5}\{2,5\}中,小于5的数字有一个2,2,,所以a[2]=1

第五位为2,在当前未出现的元素{2}\{2\}中,小于2的数字有0个,所以a[1]=0

根据公式:

X=a[5]×4!+a[4]×3!+a[3]×2!+a[2]×1!+a[1]×0!X=a[5]\times 4! + a[4]\times 3! + a[3]\times 2! + a[2]\times 1! + a[1]\times 0!

X=2×4!+2×3!+0×2!+1×1!+0×0!=61X=2\times 4! + 2\times 3! + 0\times 2! + 1\times 1! + 0\times 0!=61

所以比(3,4,1,5,2)(3,4,1,5,2)小的组合有61个,它的排名就是62。

康托逆展开

康托展开是一个全排列到一个自然数的双射,因此是可逆的。根据展开过程我们可以逆推回来。

以61进行逆推为例:

推导第一位数,61÷4!=21361\div4!=2\cdots 13,说明a[5]=2,在当前未出现的元素中{1,2,3,4,5}\{1,2,3,4,5\}比第一位小的数有两个,所以第一位为3。

推导第二位数,13÷3!=2113\div3!=2\cdots 1,说明a[4]=2,在当前未出现的元素中{1,2,4,5}\{1,2,4,5\}比第二位小的数有两个,所以第二位为4。

推导第三位数,1÷2!=011\div2!=0\cdots 1,说明a[3]=0,在当前未出现的元素中{1,2,5}\{1,2,5\}比第三位小的数有零个,所以第三位为1。

推导第四位数,1÷1!=101\div1!=1\cdots 0,说明a[2]=1,在当前未出现的元素中{2,5}\{2,5\}比第四位小的数有一个,所以第四位为5。

推导第五位数,0÷0!=000\div0!=0\cdots 0,说明a[1]=0,在当前未出现的元素中{2}\{2\}比第五位小的数有零个,所以第五位为2。

通过以上分析,所求排列组合为(3,4,1,5,2)(3,4,1,5,2)

整体时间复杂度是 O(n2)O(n^2)

优化思路

根据康托展开,先将初始序列展开求值,求出该序列在1n1\sim n的全排列中的排名,再根据m求出最终答案的排名,之后逆展开,求出该排名的序列内容。

代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
ull n,m;
int a[25];
ull fac[25]={1};//存放阶乘值fac[x]=x!
int les[25];//les[x]=当前未出现的元素中小于x的个数
vector<int> v;
int main(){
	scanf("%llu%llu",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){//预处理阶乘值
		fac[i]=fac[i-1]*i;
	}
	for(ull i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		v.push_back(i);//v中存放当前未出现的元素1~n
		les[i+1]=i;//维护les数组
	}
	
	//X=less[n]·(n-1)!+less[n-1]·(n-2)!+... +less[1]·0!
	ull sum=0;//存储展开值
	for(int i=1,j=n;i<=n;i++,j--){
		sum+=les[a[i]]*fac[j-1];//累加当前未出现元素中小于a[i]的个数 与 阶乘的乘积
		for(int k=a[i]+1;k<=n;k++){//维护当出现a[i]后,les数组的变化
			les[k]--;
		}
	}

	m+=sum;//求出答案序列的排名(排名-1)
	//逆展开 求出序列类容
	//m / x = k ... r
	for(int i=n-1,j=1;i>=0;i--,j++){
		ull k=m/fac[i];//求出在当前未出现的元素中,比第j位小的元素个数
		m%=fac[i];//更新余数
		//求出第j位的元素内容
		printf("%d ",v[k]);
		v.erase(v.begin()+k);//已经出现就删除掉
		
	}
	return 0;
}

Q.E.D.


( ノ^ω^)ノ゚ 稻 花 香 里 说 丰 年 , 听 取 WA 声 一 片 。(╥╯^╰╥)