【题解】[NOIP2016 普及组]海港

【题解】[NOIP2016 普及组]海港

小鱼干 155 2022-09-28

[NOIP2016 普及组] 海港

题目背景

NOIP2016 普及组 T3

题目描述

小 K 是一个海港的海关工作人员,每天都有许多船只到达海港,船上通常有很多来自不同国家的乘客。

小 K 对这些到达海港的船只非常感兴趣,他按照时间记录下了到达海港的每一艘船只情况;对于第 ii 艘到达的船,他记录了这艘船到达的时间 tit_i (单位:秒),船上的乘客数 kik_i,以及每名乘客的国籍 xi,1,xi,2,,xi,kx_{i,1}, x_{i,2},\dots,x_{i,k}

小K统计了 nn 艘船的信息,希望你帮忙计算出以每一艘船到达时间为止的 2424 小时(2424 小时 =86400=86400 秒)内所有乘船到达的乘客来自多少个不同的国家。

形式化地讲,你需要计算 nn 条信息。对于输出的第 ii 条信息,你需要统计满足 ti86400<tptit_i-86400<t_p \le t_i 的船只 pp,在所有的 xp,jx_{p,j} 中,总共有多少个不同的数。

输入格式

第一行输入一个正整数 nn,表示小 K 统计了 nn 艘船的信息。

接下来 nn 行,每行描述一艘船的信息:前两个整数 tit_ikik_i 分别表示这艘船到达海港的时间和船上的乘客数量,接下来 kik_i 个整数 xi,jx_{i,j} 表示船上乘客的国籍。

保证输入的 tit_i 是递增的,单位是秒;表示从小K第一次上班开始计时,这艘船在第 tit_i 秒到达海港。

保证 1n1051 \le n \le 10^5,$\sum{k_i} \le 3\times 10^5 $ ,1xi,j1051\le x_{i,j} \le 10^51ti1ti1091 \le t_{i-1}\le t_i \le 10^9

其中 ki\sum{k_i} 表示所有的 kik_i 的和。

输出格式

输出 nn 行,第 ii 行输出一个整数表示第 ii 艘船到达后的统计信息。

样例 #1

样例输入 #1

3
1 4 4 1 2 2
2 2 2 3
10 1 3

样例输出 #1

3
4
4

样例 #2

样例输入 #2

4
1 4 1 2 2 3
3 2 2 3
86401 2 3 4
86402 1 5

样例输出 #2

3
3
3
4

提示

【样例解释 1】

第一艘船在第 11 秒到达海港,最近 2424 小时到达的船是第一艘船,共有 44 个乘客,分别是来自国家 4,1,2,24,1,2,2,共来自 33 个不同的国家;

第二艘船在第 22 秒到达海港,最近 2424 小时到达的船是第一艘船和第二艘船,共有 4+2=64 + 2 = 6 个乘客,分别是来自国家 4,1,2,2,2,34,1,2,2,2,3,共来自 44 个不同的国家;

第三艘船在第 1010 秒到达海港,最近 2424 小时到达的船是第一艘船、第二艘船和第三艘船,共有 4+2+1=74+2+1=7 个乘客,分别是来自国家 4,1,2,2,2,3,34,1,2,2,2,3,3,共来自 44 个不同的国家。

【样例解释 2】

第一艘船在第 11 秒到达海港,最近 2424 小时到达的船是第一艘船,共有 44 个乘客,分别是来自国家 1,2,2,31,2,2,3,共来自 33 个不同的国家。

第二艘船在第 33 秒到达海港,最近 2424 小时到达的船是第一艘船和第二艘船,共有 4+2=64+2=6 个乘客,分别是来自国家 1,2,2,3,2,31,2,2,3,2,3,共来自 33 个不同的国家。

第三艘船在第 8640186401 秒到达海港,最近 2424 小时到达的船是第二艘船和第三艘船,共有 2+2=42+2=4 个乘客,分别是来自国家 2,3,3,42,3,3,4,共来自 33 个不同的国家。

第四艘船在第 8640286402 秒到达海港,最近 2424 小时到达的船是第二艘船、第三艘船和第四艘船,共有 2+2+1=52+2+1=5 个乘客,分别是来自国家 2,3,3,4,52,3,3,4,5,共来自 44个 不同的国家。

【数据范围】

  • 对于 10%10\% 的测试点,n=1,ki10,1xi,j10,1ti10n=1,\sum k_i \leq 10,1 \leq x_{i,j} \leq 10, 1 \leq t_i \leq 10
  • 对于 20%20\% 的测试点,1n10,ki100,1xi,j100,1ti327671 \leq n \leq 10, \sum k_i \leq 100,1 \leq x_{i,j} \leq 100,1 \leq t_i \leq 32767
  • 对于 40%40\% 的测试点,1n100,ki100,1xi,j100,1ti864001 \leq n \leq 100, \sum k_i \leq 100,1 \leq x_{i,j} \leq 100,1 \leq t_i \leq 86400
  • 对于 70%70\% 的测试点,1n1000,ki3000,1xi,j1000,1ti1091 \leq n \leq 1000, \sum k_i \leq 3000,1 \leq x_{i,j} \leq 1000,1 \leq t_i \leq 10^9
  • 对于 100%100\% 的测试点,1n105,ki3×105,1xi,j105,1ti1091 \leq n \leq 10^5,\sum k_i \leq 3\times 10^5, 1 \leq x_{i,j} \leq 10^5,1\leq t_i \leq 10^9

题目分析

阅读题面,可发现题目要求的是:每艘船到达后,24小时内的不同国家的数量。也就是连续区间内不同元素的个数。那么可以采用尺取法的思想来完成这道题目。该区间的特征即为24小时内,那么只需左、右端点的时间差不超过86400即可。结束时间开始时间+1<=86400结束时间-开始时间+1<=86400

区间的特征判断已处理好,接下来要解决的是:如何统计连续区间内的不同元素个数?

对于每艘船输入的信息有:

  • 到达时间(输入的tit_i是递增的)
  • 每艘船的人数 k
  • 每个人的国籍信息

可发现,每艘船的到达时间是递增的,也就是呈单调性。每艘船上的人的到达时间是相同的。可将当前船只到达的时间视为区间结束的时间,先根据区间结束时间,将区间开头的元素进行删除,删除掉与区间结束时间差超过24小时的元素。针对每个删除的元素,减去对应国籍统计出的人数,当人数减少至0时,不同国籍数量减一。对应的,将该艘船到达的所有人加入区间,每个人对应的国籍人数增加,若该国籍人数之前为0,则不同国籍数量加一。

人员总数3×105\leq 3\times 10^5 ,所以可以定义一个计数数组cnt[],cnt[x]为国籍x在24小时内对应的人数。这样能方便统计国籍对应的人数数量,整体时间复杂度为Θ(n×k)\Theta(n\times k)

可用双指针来描述连续区间的左、右端点。

//将24小时外的出队
while(L<=R && cha[L].ti+86400<=t){
    cnt[cha[L].x]--;//离开区间的元素对应国籍人数减少
    if(cnt[cha[L].x]==0) ans--;//若减少至0,不同国籍数减一
    L++;//移动左指针
}

for(int j=1;j<=k;j++){//输入该艘船k个人的信息
    scanf("%d",&x);
    if(cnt[x]==0) ans++;//统计新出现的国家
    cnt[x]++;//国籍x对应人数增加
    cha[++R]=node{t,x};//存入数组中,并移动右指针
}

代码实现(双指针)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
using namespace std;
const int N=3e5+5;
int n,t,k,x;
int cnt[N];//cnt[i],国家i的人数
struct node{
	int ti,x;//到达时间、国籍
};
node cha[N];
int main(){
	int ans=0;//24小时内,不同国家的数量
	scanf("%d",&n);
	int L=1,R=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		scanf("%d%d",&t,&k);
		//将24小时外的出队
		while(L<=R && cha[L].ti+86400<=t){
			cnt[cha[L].x]--;//离开区间的元素对应国籍人数减少
			if(cnt[cha[L].x]==0) ans--;//若减少至0,不同国籍数减一
			L++;//移动左指针
		}
		
		for(int j=1;j<=k;j++){//输入该艘船k个人的信息
			scanf("%d",&x);
			if(cnt[x]==0) ans++;//统计新出现的国家
			cnt[x]++;//国籍x对应人数增加
			cha[++R]=node{t,x};//存入数组中,并移动右指针
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}

代码实现(队列)

除了双指针,也可以采用队列来进行实现,队列的队首即区间的左端点;队尾即区间的右端点。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
using namespace std;
const int N=3e5+5;
int n,t,k,x;
int cnt[N];//cnt[i],国家i的人数
struct node{
	int ti,x;//到达时间、国籍
};
queue<node> q;
int main(){
	int ans=0;//24小时内,不同国家的数量
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		scanf("%d%d",&t,&k);
		//将24小时外的出队
		while(q.size() && q.front().ti+86400<=t){
			int x=q.front().x;
			q.pop();
			cnt[x]--;//x国家人数减少
			if(cnt[x]==0) ans--;//若减少至0则不同国籍数量减一
		} 
		for(int j=1;j<=k;++j){//输入该艘船k个人的信息
			scanf("%d",&x);
			if(cnt[x]==0) ans++;//增加新的国籍
			cnt[x]++;//统计国籍数
			q.push(node{t,x});//入队
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}