[NOIP2016 普及组] 海港

题目背景

NOIP2016 普及组 T3

题目描述

小 K 是一个海港的海关工作人员，每天都有许多船只到达海港，船上通常有很多来自不同国家的乘客。

小 K 对这些到达海港的船只非常感兴趣，他按照时间记录下了到达海港的每一艘船只情况；对于第 $i$ 艘到达的船，他记录了这艘船到达的时间 $t_i$ (单位：秒)，船上的乘客数 $k_i$ ，以及每名乘客的国籍 $x_{i,1}, x_{i,2},\dots,x_{i,k}$ 。

小K统计了 $n$ 艘船的信息，希望你帮忙计算出以每一艘船到达时间为止的 $24$ 小时（ $24$ 小时 $=86400$ 秒）内所有乘船到达的乘客来自多少个不同的国家。

形式化地讲，你需要计算 $n$ 条信息。对于输出的第 $i$ 条信息，你需要统计满足 $t_i-86400<t_p \le t_i$ 的船只 $p$ ，在所有的 $x_{p,j}$ 中，总共有多少个不同的数。

输入格式

第一行输入一个正整数 $n$ ，表示小 K 统计了 $n$ 艘船的信息。

接下来 $n$ 行，每行描述一艘船的信息：前两个整数 $t_i$ 和 $k_i$ 分别表示这艘船到达海港的时间和船上的乘客数量，接下来 $k_i$ 个整数 $x_{i,j}$ 表示船上乘客的国籍。

保证输入的 $t_i$ 是递增的，单位是秒；表示从小K第一次上班开始计时，这艘船在第 $t_i$ 秒到达海港。

保证 $1 \le n \le 10^5$ ，$\sum{k_i} \le 3\times 10^5 $ ， $1\le x_{i,j} \le 10^5$ ， $1 \le t_{i-1}\le t_i \le 10^9$ 。

其中 $\sum{k_i}$ 表示所有的 $k_i$ 的和。

输出格式

输出 $n$ 行，第 $i$ 行输出一个整数表示第 $i$ 艘船到达后的统计信息。

样例 #1

样例输入 #1

3
1 4 4 1 2 2
2 2 2 3
10 1 3

样例输出 #1

3
4
4

样例 #2

样例输入 #2

4
1 4 1 2 2 3
3 2 2 3
86401 2 3 4
86402 1 5

样例输出 #2

提示

【样例解释 1】

第一艘船在第 $1$ 秒到达海港，最近 $24$ 小时到达的船是第一艘船，共有 $4$ 个乘客，分别是来自国家 $4,1,2,2$ ，共来自 $3$ 个不同的国家；

第二艘船在第 $2$ 秒到达海港，最近 $24$ 小时到达的船是第一艘船和第二艘船，共有 $4 + 2 = 6$ 个乘客，分别是来自国家 $4,1,2,2,2,3$ ，共来自 $4$ 个不同的国家；

第三艘船在第 $10$ 秒到达海港，最近 $24$ 小时到达的船是第一艘船、第二艘船和第三艘船，共有 $4+2+1=7$ 个乘客，分别是来自国家 $4,1,2,2,2,3,3$ ，共来自 $4$ 个不同的国家。

【样例解释 2】

第一艘船在第 $1$ 秒到达海港，最近 $24$ 小时到达的船是第一艘船，共有 $4$ 个乘客，分别是来自国家 $1,2,2,3$ ，共来自 $3$ 个不同的国家。

第二艘船在第 $3$ 秒到达海港，最近 $24$ 小时到达的船是第一艘船和第二艘船，共有 $4+2=6$ 个乘客，分别是来自国家 $1,2,2,3,2,3$ ，共来自 $3$ 个不同的国家。

第三艘船在第 $86401$ 秒到达海港，最近 $24$ 小时到达的船是第二艘船和第三艘船，共有 $2+2=4$ 个乘客，分别是来自国家 $2,3,3,4$ ，共来自 $3$ 个不同的国家。

第四艘船在第 $86402$ 秒到达海港，最近 $24$ 小时到达的船是第二艘船、第三艘船和第四艘船，共有 $2+2+1=5$ 个乘客，分别是来自国家 $2,3,3,4,5$ ，共来自 $4$ 个不同的国家。

【数据范围】

对于 $10\%$ 的测试点， $n=1,\sum k_i \leq 10,1 \leq x_{i,j} \leq 10, 1 \leq t_i \leq 10$ 。
对于 $20\%$ 的测试点， $1 \leq n \leq 10, \sum k_i \leq 100,1 \leq x_{i,j} \leq 100,1 \leq t_i \leq 32767$ 。
对于 $40\%$ 的测试点， $1 \leq n \leq 100, \sum k_i \leq 100,1 \leq x_{i,j} \leq 100,1 \leq t_i \leq 86400$ 。
对于 $70\%$ 的测试点， $1 \leq n \leq 1000, \sum k_i \leq 3000,1 \leq x_{i,j} \leq 1000,1 \leq t_i \leq 10^9$ 。
对于 $100\%$ 的测试点， $1 \leq n \leq 10^5,\sum k_i \leq 3\times 10^5, 1 \leq x_{i,j} \leq 10^5,1\leq t_i \leq 10^9$ 。

题目分析

阅读题面，可发现题目要求的是：每艘船到达后，24小时内的不同国家的数量。也就是连续区间内不同元素的个数。那么可以采用尺取法的思想来完成这道题目。该区间的特征即为24小时内，那么只需左、右端点的时间差不超过86400即可。 $结束时间-开始时间+1<=86400$ 。

区间的特征判断已处理好，接下来要解决的是：如何统计连续区间内的不同元素个数？

对于每艘船输入的信息有：

到达时间（输入的 $t_i$ 是递增的）
每艘船的人数 k
每个人的国籍信息

可发现，每艘船的到达时间是递增的，也就是呈单调性。每艘船上的人的到达时间是相同的。可将当前船只到达的时间视为区间结束的时间，先根据区间结束时间，将区间开头的元素进行删除，删除掉与区间结束时间差超过24小时的元素。针对每个删除的元素，减去对应国籍统计出的人数，当人数减少至0时，不同国籍数量减一。对应的，将该艘船到达的所有人加入区间，每个人对应的国籍人数增加，若该国籍人数之前为0，则不同国籍数量加一。

人员总数 $\leq 3\times 10^5$ ，所以可以定义一个计数数组cnt[],cnt[x]为国籍x在24小时内对应的人数。这样能方便统计国籍对应的人数数量，整体时间复杂度为 $\Theta(n\times k)$ 。

可用双指针来描述连续区间的左、右端点。

//将24小时外的出队
while(L<=R && cha[L].ti+86400<=t){
    cnt[cha[L].x]--;//离开区间的元素对应国籍人数减少
    if(cnt[cha[L].x]==0) ans--;//若减少至0，不同国籍数减一
    L++;//移动左指针
}

for(int j=1;j<=k;j++){//输入该艘船k个人的信息
    scanf("%d",&x);
    if(cnt[x]==0) ans++;//统计新出现的国家
    cnt[x]++;//国籍x对应人数增加
    cha[++R]=node{t,x};//存入数组中，并移动右指针
}

代码实现（双指针）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
using namespace std;
const int N=3e5+5;
int n,t,k,x;
int cnt[N];//cnt[i],国家i的人数
struct node{
	int ti,x;//到达时间、国籍
};
node cha[N];
int main(){
	int ans=0;//24小时内，不同国家的数量
	scanf("%d",&n);
	int L=1,R=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		scanf("%d%d",&t,&k);
		//将24小时外的出队
		while(L<=R && cha[L].ti+86400<=t){
			cnt[cha[L].x]--;//离开区间的元素对应国籍人数减少
			if(cnt[cha[L].x]==0) ans--;//若减少至0，不同国籍数减一
			L++;//移动左指针
		}
		
		for(int j=1;j<=k;j++){//输入该艘船k个人的信息
			scanf("%d",&x);
			if(cnt[x]==0) ans++;//统计新出现的国家
			cnt[x]++;//国籍x对应人数增加
			cha[++R]=node{t,x};//存入数组中，并移动右指针
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}

代码实现(队列)

除了双指针，也可以采用队列来进行实现，队列的队首即区间的左端点；队尾即区间的右端点。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
using namespace std;
const int N=3e5+5;
int n,t,k,x;
int cnt[N];//cnt[i],国家i的人数
struct node{
	int ti,x;//到达时间、国籍
};
queue<node> q;
int main(){
	int ans=0;//24小时内，不同国家的数量
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		scanf("%d%d",&t,&k);
		//将24小时外的出队
		while(q.size() && q.front().ti+86400<=t){
			int x=q.front().x;
			q.pop();
			cnt[x]--;//x国家人数减少
			if(cnt[x]==0) ans--;//若减少至0则不同国籍数量减一
		} 
		for(int j=1;j<=k;++j){//输入该艘船k个人的信息
			scanf("%d",&x);
			if(cnt[x]==0) ans++;//增加新的国籍
			cnt[x]++;//统计国籍数
			q.push(node{t,x});//入队
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}

【题解】[NOIP2016 普及组]海港