P7909 [CSP-J 2021] 分糖果

题目背景

红太阳幼儿园的小朋友们开始分糖果啦！

题目描述

红太阳幼儿园有 $n$ 个小朋友，你是其中之一。保证 $n \ge 2$。

有一天你在幼儿园的后花园里发现无穷多颗糖果，你打算拿一些糖果回去分给幼儿园的小朋友们。

由于你只是个平平无奇的幼儿园小朋友，所以你的体力有限，至多只能拿 $R$ 块糖回去。

但是拿的太少不够分的，所以你至少要拿 $L$ 块糖回去。保证 $n \le L \le R$。

也就是说，如果你拿了 $k$ 块糖，那么你需要保证 $L \le k \le R$。

如果你拿了 $k$ 块糖，你将把这 $k$ 块糖放到篮子里，并要求大家按照如下方案分糖果：只要篮子里有不少于 $n$ 块糖果，幼儿园的所有 $n$ 个小朋友（包括你自己）都从篮子中拿走恰好一块糖，直到篮子里的糖数量少于 $n$ 块。此时篮子里剩余的糖果均归你所有——这些糖果是作为你搬糖果的奖励。

作为幼儿园高质量小朋友，你希望让作为你搬糖果的奖励的糖果数量（而不是你最后获得的总糖果数量！）尽可能多；因此你需要写一个程序，依次输入 $n, L, R$，并输出你最多能获得多少作为你搬糖果的奖励的糖果数量。

输入格式

输入一行，包含三个正整数 $n, L, R$，分别表示小朋友的个数、糖果数量的下界和上界。

输出格式

输出一行一个整数，表示你最多能获得的作为你搬糖果的奖励的糖果数量。

输入输出样例 #1

输入 #1

7 16 23

输出 #1

6

输入输出样例 #2

输入 #2

10 14 18

输出 #2

8

说明/提示

【样例解释 #1】

拿 $k = 20$ 块糖放入篮子里。

篮子里现在糖果数 $20 \ge n = 7$，因此所有小朋友获得一块糖；

篮子里现在糖果数变成 $13 \ge n = 7$，因此所有小朋友获得一块糖；

篮子里现在糖果数变成 $6 < n = 7$，因此这 $6$ 块糖是作为你搬糖果的奖励。

容易发现，你获得的作为你搬糖果的奖励的糖果数量不可能超过 $6$ 块（不然，篮子里的糖果数量最后仍然不少于 $n$，需要继续每个小朋友拿一块），因此答案是 $6$。

【样例解释 #2】

容易发现，当你拿的糖数量 $k$ 满足 $14 = L \le k \le R = 18$ 时，所有小朋友获得一块糖后，剩下的 $k - 10$ 块糖总是作为你搬糖果的奖励的糖果数量，因此拿 $k = 18$ 块是最优解，答案是 $8$。

【数据范围】

对于所有数据，保证 $2 \le n \le L \le R \le {10}^9$。

题目分析

目的: 求出最多可获得的搬糖果的奖励数量。

先搞清楚奖励数量由什么决定。从题面中可知，当篮子里的数量少于n块时，篮子里的剩余糖果就是搬糖果的奖励。因为每次都是n个人每人一块糖果，所以实际上就是看sum % n 后的内容，sum为搬运的总数。

朴素的想法就是在$[L,R]$中一个个数量进行尝试，找出取余n后的最大值。但是数值最多到$10^9$，枚举找必然会超时。

对于一个数取余n，余数范围是$[0,n-1]$，所以只要看区间内是否包含余数n-1即可。

只可能存在两种情况

(1) $[L\%n, ... ,R\%n],...,n-1$

(2) $[L\%n, ...,n-1,0,...R\%n]$

所以结果要么是 R%n要么是n-1。

那么怎么判断是否区间余数包含n-1呢?考虑判断L,和R是否落在两个不同的长度为n的区间内若R/n != L/n 也就是在不同的区间。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
  int n, L, R;
  cin >> n >> L >> R;
  // [L,R] 中存在 n 的倍数 <=> R/n > L/n，此时取 倍数-1 可得余数 n-1
  if (R / n != L / n) cout << n - 1;
  else cout << R % n;
  return 0;
}