定义

考虑一个有n个元素的排列,若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上,那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)。 研究一个排列错排个数的问题,叫做错排问题或称为更列问题。

递推公式

第一步

把第nn个元素放在一个位置,比如位置k,一共有n1n-1种放法。

第二步

放编号为k的元素,此时有两种情况。

  1. 把它放到位置n
  2. 第k个元素不把它放到位置n

讨论情况1,当第k个元素放在位置n后,还剩有 n2n-2 个元素,它们进行错排有D(n-2)种方法。

再讨论情况2,当第k个元素不放在位置n,这是,对于未排的 n1n-1个元素,有D(n-1)种方法。

此时可得到公式

D(1)=0D(2)=1D(n)=(n1)[D(n2)+D(n1)]\begin{aligned} D(1)&=0\\D(2)&=1\\ D(n)&=(n-1)\cdot[D(n-2)+D(n-1)] \end{aligned}

D(n)=n!n!1!+n!2!++(1)n×n!n!=k=3n(1)kn!k!\begin{aligned} D(n)&=n!-\frac{n!}{1!}+\frac{n!}{2!}+\cdots+(-1)^n\times\frac{n!}{n!}\\ &=\sum\limits_{k=3}^{n}(-1)^k\cdot\frac{n!}{k!} \end{aligned}

Q.E.D.


( ノ^ω^)ノ゚ 稻 花 香 里 说 丰 年 , 听 取 WA 声 一 片 。(╥╯^╰╥)