题目描述

形如 2P12^{P}-1 的素数称为麦森数,这时P一定也是个素数。但反过来不一定,即如果P是个素数,2P12^{P}-1 不一定也是素数。到1998年底,人们已找到了37个麦森数。最大的一个是P=3021377,它有909526位。麦森数有许多重要应用,它与完全数密切相关。

任务:从文件中输入P(1000<P<3100000),计算 2P12^{P}-1 的位数和最后500位数字(用十进制高精度数表示)

输入格式

文件中只包含一个整数P(1000<P<3100000)

输出格式

第一行:十进制高精度数 2P12^{P}-1 的位数。

第2-11行:十进制高精度数 2P12^{P}-1 的最后500位数字。(每行输出50位,共输出10行,不足500位时高位补0)

不必验证 2P12^{P}-1 与P是否为素数。

输入输出样例

输入 #1

1279

输出 #1

386
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000104079321946643990819252403273640855
38615262247266704805319112350403608059673360298012
23944173232418484242161395428100779138356624832346
49081399066056773207629241295093892203457731833496
61583550472959420547689811211693677147548478866962
50138443826029173234888531116082853841658502825560
46662248318909188018470682222031405210266984354887
32958028878050869736186900714720710555703168729087

题目分析

题目需要我们解决两个问题

  1. 位数
  2. 最后500位数字

​ 首先对于位数,我们 2p12^p-1 的位数一定与 2p2^p 的位数相同,因为 2p2^p 不可能出现个位为0的情况。所以只需要求 2p2^p 的位数即可。

已知

alogab=ba^{log_ab}=b

所以

2P=10log102P=10plog1022^P={10^{log_{10}{2}}}^P={10}^{plog_{10}2}

所以 2P2^P的位数等于 10plog102\lceil {10}^{plog_{10}2} \rceil 。而cmath存在函数log10(x) 可以求解 log10xlog_{10}x 的值。

所以位数等于ceil(p*log10(2))

​ 其次,再来解决第二个问题。求后500位的内容。500位的数字对于现有的整数类型来说还是太大了,所以采用高精度的方式处理,而且我们每次只需处理后500位即可。将高精度乘二的过程重复p次即可。理论上的执行次数是 500p500p 而p的范围的限制,导致总的次数达到 1.5×1091.5 \times 10^9

​ 此时,可以考虑压位高精的方式进行处理,使用 long long 类型,每个元素保留10位的数字,500 位数字,只需50个元素即可,降低总次数至 10810^8 的量级。

代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll M=1e10;
ll a[55]={1};
void minus2(){//大数乘2
	ll jw=0;//进位值
	for(int i=0;i<50;i++){//从低位开始进行乘2
		a[i]=a[i]*2+jw;
		jw=a[i]/M;//计算进位值
		a[i]%=M;//只保留10位数值
	}
}
int main(){
	int p;
	cin>>p;
	cout<<ceil(p*log10(2))<<endl;//计算2^p-1 的位数
	for(int i=1;i<=p;i++){//p个2相乘,计算2^p
		minus2();
	}
	a[0]--;//个位减一
	for(int i=49;i>=0;i--){//从高位开始输出
		printf("%010lld",a[i]);//每个元素代表10位值,高位用0填充
		if(i%5==0){//50个为一行
			printf("\n");
		}
	}
	return 0;
}

Q.E.D.


( ノ^ω^)ノ゚ 稻 花 香 里 说 丰 年 , 听 取 WA 声 一 片 。(╥╯^╰╥)