[CSP-J 2021] 分糖果

题目背景

红太阳幼儿园的小朋友们开始分糖果啦！

题目描述

红太阳幼儿园有 $n$ 个小朋友，你是其中之一。保证 $n \ge 2$ 。

有一天你在幼儿园的后花园里发现无穷多颗糖果，你打算拿一些糖果回去分给幼儿园的小朋友们。

由于你只是个平平无奇的幼儿园小朋友，所以你的体力有限，至多只能拿 $R$ 块糖回去。

但是拿的太少不够分的，所以你至少要拿 $L$ 块糖回去。保证 $n \le L \le R$ 。

也就是说，如果你拿了 $k$ 块糖，那么你需要保证 $L \le k \le R$ 。

如果你拿了 $k$ 块糖，你将把这 $k$ 块糖放到篮子里，并要求大家按照如下方案分糖果：只要篮子里有不少于 $n$ 块糖果，幼儿园的所有 $n$ 个小朋友（包括你自己）都从篮子中拿走恰好一块糖，直到篮子里的糖数量少于 $n$ 块。此时篮子里剩余的糖果均归你所有——这些糖果是作为你搬糖果的奖励。

作为幼儿园高质量小朋友，你希望让作为你搬糖果的奖励的糖果数量（而不是你最后获得的总糖果数量！）尽可能多；因此你需要写一个程序，依次输入 $n, L, R$ ，并输出你最多能获得多少作为你搬糖果的奖励的糖果数量。

输入格式

输入一行，包含三个正整数 $n, L, R$ ，分别表示小朋友的个数、糖果数量的下界和上界。

输出格式

输出一行一个整数，表示你最多能获得的作为你搬糖果的奖励的糖果数量。

样例 #1

样例输入 #1

7 16 23

样例输出 #1

样例 #2

样例输入 #2

10 14 18

样例输出 #2

样例 #3

样例输入 #3

见附件中的 candy/candy3.in。

样例输出 #3

见附件中的 candy/candy3.ans。

提示

【样例解释 #1】

拿 $k = 20$ 块糖放入篮子里。

篮子里现在糖果数 $20 \ge n = 7$ ，因此所有小朋友获得一块糖；

篮子里现在糖果数变成 $13 \ge n = 7$ ，因此所有小朋友获得一块糖；

篮子里现在糖果数变成 $6 < n = 7$ ，因此这 $6$ 块糖是作为你搬糖果的奖励。

容易发现，你获得的作为你搬糖果的奖励的糖果数量不可能超过 $6$ 块（不然，篮子里的糖果数量最后仍然不少于 $n$ ，需要继续每个小朋友拿一块），因此答案是 $6$ 。

【样例解释 #2】

容易发现，当你拿的糖数量 $k$ 满足 $14 = L \le k \le R = 18$ 时，所有小朋友获得一块糖后，剩下的 $k - 10$ 块糖总是作为你搬糖果的奖励的糖果数量，因此拿 $k = 18$ 块是最优解，答案是 $8$ 。

【数据范围】

测试点	$n \le$	$R \le$	$R - L \le$
$1$	$2$	$5$	$5$
$2$	$5$	$10$	$10$
$3$	${10}^3$	${10}^3$	${10}^3$
$4$	${10}^5$	${10}^5$	${10}^5$
$5$	${10}^3$	${10}^9$	$0$
$6$	${10}^3$	${10}^9$	${10}^3$
$7$	${10}^5$	${10}^9$	${10}^5$
$8$	${10}^9$	${10}^9$	${10}^9$
$9$	${10}^9$	${10}^9$	${10}^9$
$10$	${10}^9$	${10}^9$	${10}^9$

对于所有数据，保证 $2 \le n \le L \le R \le {10}^9$ 。

分析

仔细阅读题目，可发现题目要求的是最多能获得的奖励的糖果数量。而奖励的糖果数量则是平分给n个小朋友后剩下的糖果数量。设 $k$ 为篮子里的糖果总数, $n$ 为小朋友的人数，那么 $ans=k \bmod n$ ，而k的范围则是 $L\leq k \leq R$ 。

暴力枚举的思路就是遍历 $L\sim R$ ，找出范围内最大的取余结果即可。结合数据范围，可以通过7个测试点(实际数据能有90分)。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int main(){
	int n,l,r,ans=0;
	cin>>n>>l>>r;//输入小朋友的个数、糖果数量的下界和上界
	for(int i=l;i<=r;i++){//遍历l~r
		ans=max(ans,i%n);
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

题目要我们求的是 $L\sim R$ 范围内区域n的最大值。若简单列举余数，可发现序列为：

$0、1、2、\cdots 、n-1、0、1、2、\cdots 、n-1、\cdots$ 。

可发现若框定L 和R ，只存在两种结果，余数包含 $n-1$ ,那么结果就是 $n-1$ 否则就是 $R\%n$ 。

仔细观察两种情况的区别，可发现，若想余数不包含 $n-1$ ，那么 $L/n$ 和 $R/n$ 的值一定相同。由此，可根据不同的判断结果输出答案。

if(L/n==R/n){
    cout<<R%n;
}else{
    cout<<n-1;
}

实现代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int main(){
	int n,l,r;
	cin>>n>>l>>r;//输入小朋友的个数、糖果数量的下界和上界
	if(l/n==r/n){//包含余数中不含n-1
		cout<<r%n;
	}else{
		cout<<n-1;
	}
	return 0;
}

【题解】CSP-J2021_分糖果